每日一题[1560]反向柯西不等式

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2AC$，且其面积 $S_{\triangle ABC}=1$，则 $BC$ 的最小值是_______．

答案     $\sqrt 3$．

解析     由 $S_{\triangle ABC}=1$ 可得

$$\dfrac 12\sin A\cdot AB\cdot AC=1\implies \sin A\cdot AC^2=1\implies AC=\dfrac{1}{\sqrt{\sin A}},$$ 于是根据余弦定理结合柯西不等式，有 $$\begin{split} BC&=\sqrt{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A}\\ &=\sqrt{\dfrac{5-4\cos A}{\sin A}}\\ &\geqslant \sqrt{\dfrac{\sqrt{5^2-4^2}\cdot\sqrt{1-\cos^2A}}{\sin A}}\\ &=\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $\cos A=\dfrac 45$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．