每日一题[1530]分离变量

若实数 $a$ 使得不等式 $\lvert x-2a \rvert+\lvert 2x-a \rvert \geqslant a^2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案       $\left[-\dfrac 32,\dfrac 32\right]$．

解析       当 $a=0$ 时符合题意．当 $a\ne 0$ 时，题意即 $$\forall x\in\mathbb R,\left|\dfrac xa-2\right|+\left|\dfrac{2x}a-1\right|\geqslant |a|,$$ 也即 $$\forall x\in\mathbb R,|a|\leqslant |x-2|+|2x-1|,$$ 也即 $$|a|\leqslant \dfrac 32.$$ 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 32,\dfrac 32\right]$．