每日一题[1529]方程计算

如图，在 $\triangle ABD$ 中，点 $C$ 在 $AD$ 上，$\angle ABC= \dfrac {\pi}2$，$\angle DBC= \dfrac {\pi}6$，$AB=CD=1$，则 $AC=$_______．

答案       $\sqrt[3]2$．

解析       设 $AC=x$，则 $BC=\sqrt{x^2-1}$，且

$$\sin D=\sin\left(\dfrac{\pi}3-A\right)=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac 1x-\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{x^2-1}}x=\dfrac{\sqrt 3-\sqrt{x^2-1}}{2x},$$ 进而在 $\triangle BCD$ 中应用正弦定理，有 $$\dfrac{BC}{\sin D}=\dfrac{CD}{\sin\angle DBC}\iff \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{\dfrac{\sqrt 3-\sqrt{x^2-1}}{2x}}=\dfrac{1}{\dfrac 12},$$ 整理得 $$(x+2)(x^3-2)=0,$$ 于是 $x=\sqrt[3]2$．