每日一题[1501]分而治之

已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$，过点 $Q\left(-\dfrac 12,0\right)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点（点 $M$ 在 $Q,N$ 之间），过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $OP$ 于 $A$，交 $ON$ 于 $B$，$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $S_1 , S_2$，比较 $S_1$ 与 $3S_2$ 的大小，说明理由．

答案      $S_1 > 3S_2$．

解析      根据题意，有 $a=1$，设 $M(m,m^2)$，$N(n,n^2)$，则直线 $MN$ 的横截距

$$\dfrac{mn}{m+n}=-\dfrac 12\iff \dfrac 1m+\dfrac 1n=-2,$$ 且 $m\in\left(-\dfrac 12,0\right)$，进而 $$\begin{split} MN&:y=(m+n)\left(x+\dfrac 12\right),\\ OP&:y=-x,\\ ON&:y=nx,\end{split}$$ 于是 $$A\left(-m^2,m^2\right),B\left(\dfrac{m^2}{n},m^2\right),$$ 进而 $M,A,B$ 的横坐标分别为 $m,-m^2,-2m^2-m$，从而 $AM=AB$，于是 $$\dfrac{S_1}{3S_2}=\dfrac{AP}{3AO}=\dfrac{-m^2+1}{3m^2}=-\dfrac 13+\dfrac{1}{3m^2}>1,$$ 因此 $S_1>3S_2$．