每日一题[1470]抛物线的平均性质

已知抛物线 $y^2=2x$ 的焦点有两条直线 $l_1,l_2$，直线 $l_1$ 交抛物线于点 $P,M$，直线 $l_2$ 交抛物线于点 $Q,N$，若直线 $PQ$ 的方程为 $4x-9y+4=0$，那么直线 $MN$ 的斜率为_______．

答案      $-\dfrac 89$．

解析      设 $P(x_1,y_1)$，$M(x_2,y_2)$，$Q(x_3,y_3)$，$N(x_4,y_4)$，则根据抛物线的平均性质，有

$$x_1x_2= x_3x_4=\dfrac 14,$$ 于是 $$y_1y_2=y_3y_4=-1,$$ 联立直线 $PQ$ 与抛物线方程，有 $$y^2=2\cdot \dfrac{9y-4}4,$$ 于是 $$y_1+y_3=\dfrac 92,y_1y_3=2,$$ 进而直线 $MN$ 的斜率 $$k=\dfrac{y_2-y_4}{x_2-x_4}=\dfrac{2}{y_2+y_4}=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{y_1}-\dfrac{1}{y_3}}=-\dfrac{2y_1y_3}{y_1+y_3}=-\dfrac 89.$$

备注      特别的，直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 交点在抛物线准线 $x=-\dfrac 12$ 上，于是直线 $MN$ 过点 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 29\right)$，因此直线

$$MN:8x+9y+2=0.$$