每日一题[1462]两边夹

已知数列 {an} 满足 a1=1an+1=an+12an,则 limn+(ann)= ______.

答案     0

解析     根据题意,有a2n+1a2n=1+14a2n,于是a2n进而a_{n+1}^2\leqslant n+1+\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4k},因此\begin{split} a_n-\sqrt n&\leqslant \sqrt{n+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{4k}}-\sqrt n\\ &\leqslant \sqrt{n+\dfrac 14(1+\ln n)}-\sqrt n\\ &=\dfrac{\dfrac 14(1+\ln n)}{\sqrt{n+\dfrac 14(1+\ln n)}+\sqrt n}\\ &<\dfrac{1+\ln n}{8\sqrt n},\end{split}\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1+\ln n}{8\sqrt n}=0,于是\lim\limits_{n\to +\infty}\left(a_n-\sqrt n\right)=0.

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