每日一题[122] 逐层简化

今天的题目是2015年北京市海淀区高三二模理科数学第18题：

已知函数$f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$．

（1）求函数$f(x)$的零点及单调区间；

（2）求证：曲线$y=\dfrac{\ln x}{x}$存在斜率为$6$的切线，且切点的纵坐标$y_0<-1$．

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（1）$f(x)$的零点为$x={\mathrm e}$，其导函数

$$f'(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3},$$ 于是其单调递减区间为$\left(0,{\mathrm e}^{\frac 32}\right)$，单调递增区间为$\left({\mathrm e}^{\frac 32},+\infty\right)$．

（2）注意到函数$y=\dfrac{\ln x}{x}$的导函数即为$f(x)$，画出函数草图如下．

由于当$x>\mathrm e$时，$f(x)<0$，且当$x<\dfrac{1}{\mathrm e}$时，$f(x)>2{\mathrm e}^2$，因此在这两个区间上不存在符合题意的切线；而在区间$\left[\dfrac{1}{\mathrm e},{\mathrm e}\right]$上，函数$f(x)$从$2{\mathrm e}^2$单调递减到$0$，因此在该区间上存在符合题意的切线．

如图，设切点的横坐标为$x_0$，则

$$\dfrac{1-\ln{x_0}}{x_0^2}=6,y_0=\dfrac{\ln x_0}{x_0},$$ 从第一个式子中得 $$\ln x_0=1-6x_0^2,$$ 代入第二个式子，有 $$y_0=\dfrac{1-6x_0^2}{x_0},$$ 用分析法不难得知欲证$y_0<-1$，只需要证明$x_0>\dfrac 12$．考虑到函数$f(x)$在区间$\left[\dfrac{1}{\mathrm e},{\mathrm e}\right]$上单调递减，因此只需要证明 $$f\left(x_0\right)<f\left(\dfrac 12\right),$$ 即 $$6<4\left(1+\ln 2\right),$$ 这显然成立，因此原命题得证．

注    分两步走，第一步消灭$\ln$，将不好处理的对数函数转化为好处理的多项式函数；第二步消灭$x_0$．