今天的题目是2015年北京市海淀区高三二模理科数学第18题：
已知函数\(f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)．
（1）求函数\(f(x)\)的零点及单调区间；
（2）求证：曲线\(y=\dfrac{\ln x}{x}\)存在斜率为\(6\)的切线，且切点的纵坐标\(y_0<-1\)．
（1）\(f(x)\)的零点为\(x={\mathrm e}\)，其导函数\[f'(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3},\]于是其单调递减区间为\(\left(0,{\mathrm e}^{\frac 32}\right)\)，单调递增区间为\(\left({\mathrm e}^{\frac 32},+\infty\right)\)．
（2）注意到函数\(y=\dfrac{\ln x}{x}\)的导函数即为\(f(x)\)，画出函数草图如下．
由于当\(x>\mathrm e\)时，\(f(x)<0\)，且当\(x<\dfrac{1}{\mathrm e}\)时，\(f(x)>2{\mathrm e}^2\)，因此在这两个区间上不存在符合题意的切线；而在区间\(\left[\dfrac{1}{\mathrm e},{\mathrm e}\right]\)上，函数\(f(x)\)从\(2{\mathrm e}^2\)单调递减到\(0\)，因此在该区间上存在符合题意的切线．
如图，设切点的横坐标为\(x_0\)，则\[\dfrac{1-\ln{x_0}}{x_0^2}=6,y_0=\dfrac{\ln x_0}{x_0},\]从第一个式子中得\[\ln x_0=1-6x_0^2,\]代入第二个式子，有\[y_0=\dfrac{1-6x_0^2}{x_0},\]用分析法不难得知欲证\(y_0<-1\)，只需要证明\(x_0>\dfrac 12\)．考虑到函数\(f(x)\)在区间\(\left[\dfrac{1}{\mathrm e},{\mathrm e}\right]\)上单调递减，因此只需要证明\[f\left(x_0\right)<f\left(\dfrac 12\right),\]即\[6<4\left(1+\ln 2\right),\]这显然成立，因此原命题得证．
注 分两步走，第一步消灭\(\ln\)，将不好处理的对数函数转化为好处理的多项式函数；第二步消灭\(x_0\)．