每日一题[1410]切线方程

已知椭圆 $E$ 的左、右焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，设 $d$ 是从椭圆中心到过点 $P$ 的切线 $l$ 的距离．求证：$|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot d^2$ 为定值．

解析    设椭圆方程为 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$P(x_0,y_0)$，则\[l:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1,\]于是\[\begin{split} |PF_1|\cdot |PF_2|\cdot d^2&=\left(a+\dfrac cax_0\right)\cdot \left(a-\dfrac cax_0\right)\cdot \dfrac{1}{\dfrac{x_0^2}{a^4}+\dfrac{y_0^2}{b^4}}\\ &=\dfrac{a^2-\dfrac{c^2x_0^2}{a^2}}{\dfrac{x_0^2}{a^4}+\dfrac{1-\dfrac{x_0^2}{a^2}}{b^2}}\\ &=a^2b^2\cdot \dfrac{a^4-c^2x_0^2}{b^2x_0^2+a^4-a^2x_0^2}\\ &=a^2b^2,\end{split}\]因此原命题得证．

备注    第 $\tt 37$ 届美国普特南数学竞赛试题．