每日一题[1369]恰好平行

已知点 $P,Q$ 在 $\triangle ABC$ 中，且

$$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{QA}+3\overrightarrow{QB}+5\overrightarrow{QC}=\overrightarrow 0,$$ 则 $\dfrac{|PQ|}{|AB|}=$ （       ）

A．$\dfrac 1{30}$

B．$\dfrac 1{15}$

C．$\dfrac 1{10}$

D．$\dfrac 2{15}$

答案    A．

解析    如图，根据奔驰定理，$\triangle PAB$ 和 $\triangle QAB$ 的面积均为 $\triangle ABC$ 面积的 $\dfrac 12$，于是点 $P,Q$ 均在 $\triangle ABC$ 中与 $AB$ 平行的中位线 $MN$ 上．

考虑到

$$\dfrac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle PCA}}=\dfrac 12,\dfrac{S_{\triangle QBC}}{S_{\triangle QCA}}=\dfrac 23,$$ 于是 $P$ 为 $CP_1$ 与 $MN$ 的交点，其中 $\overrightarrow{AP_1}=2\overrightarrow{P_1B}$，$Q$ 为 $CQ_1$ 与 $MN$ 的交点（图中未画出），其中 $\overrightarrow{AQ_1}=\dfrac 32\overrightarrow{Q_1B}$，因此 $$\dfrac{|PQ|}{|AB|}=\dfrac{\dfrac 12|P_1Q_1|}{|AB|}=\dfrac 12\left|\dfrac 13-\dfrac 25\right|=\dfrac{1}{30}.$$

备注    事实上，考虑特殊情形，取 $A=C=(0)$，$B=(1)$，$P=(x)$，$Q=(y)$，则

$$\begin{cases} x+2(x-1)+3x=0,\\ 2y+3(y-1)+5y=0,\end{cases}$$ 解得 $$(x,y)=\left(\dfrac 13,\dfrac3{10}\right),$$ 于是 $$\dfrac{|PQ|}{|AB|}=\dfrac{1}{30}.$$