每日一题[1222]三角与几何

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，以 $AB$ 为一边向 $\triangle ABC$ 外作等边三角形 $ABD$，$\angle BCD=2\angle ACD$，$\overrightarrow {AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则 $\lambda+\mu=$ _______．

答案    $\dfrac {1-\sqrt 3}2$

解法一    如图建系，设 $A(0,0)$，$B(0,2)$，$C(-m,0)$（$m>0$），$D(\sqrt 3,1)$，$\angle DCA=\theta$，则 $\angle BCA=3\theta$．

根据三倍角公式，有

$$\tan3\theta=\dfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta},$$ 于是 $$\dfrac 2m=\dfrac{3\cdot \dfrac{1}{\sqrt 3+m}-\left(\dfrac{1}{\sqrt 3+m}\right)^3}{1-3\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt 3+m}\right)^2},$$ 也即 $$\dfrac 2m=\dfrac{8+6\sqrt 3m+3m^2}{m\left(6+3\sqrt 3m+m^2\right)},$$ 解得 $m=2$，于是 $$\lambda=\dfrac 12,\mu=-\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 从而 $$\lambda+\mu=\dfrac{1-\sqrt 3}2.$$

解法二    如图，作 $D$ 关于 $AC$ 的对称点 $E$，连接 $EA,EC,ED$．

根据题意，$\triangle ADE$ 也是等边三角形，且 $\angle DCE=\angle BCD$，于是

$$\dfrac{CD}{\sin\angle CBD}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCD}=\dfrac{DE}{\sin\angle DCE}=\dfrac{CD}{\sin \angle DEC},$$ 从而 $B,C,E,D$ 四点共圆，因此 $\angle BCA=45^\circ$，进而 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，解得 $$\lambda=\dfrac 12,\mu=-\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 从而 $$\lambda+\mu=\dfrac{1-\sqrt 3}2.$$