已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根，且 $1<x_1<x_2<2$，$a,b,c\in \mathbb Z$．则当正整数 $a$ 取得最小值时，$b+c$ 的值为 （ ）
A．$-5$
B．$-4$
C．$-1$
D．$3$
正确答案是B．
分析与解 设 $f(x)=ax^2+bx+c$，根据题意，有\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).\]考虑到 $f(1),f(2)$ 均为整数，因此\[f(1)\cdot f(2)\geqslant 1,\]即\[a^2(x_1-1)(x_2-1)(2-x_1)(2-x_2)\geqslant 1,\]因此\[a^2\geqslant \dfrac{1}{(x_1-1)(x_2-1)(2-x_1)(2-x_2)}> 16,\]从而 $a\geqslant 5$．接下来探索当 $a=5$ 时是否有满足题意的 $b,c$，以及它们可能的值．
当 $a=5$ 时，有\[1\leqslant f(1)\cdot f(2)=25(x_1-1)(x_2-1)(2-x_1)(2-x_2)<\dfrac{25}{16},\]因此必然有\[f(1)=f(2)=1,\]此时\[f(x)=5(x-1)(x-2)+1,\]也即\[f(x)=5x^2-15x+11,\]其判别式 $\Delta>0$，符合题意．
因此 $(b,c)=(-15,11)$，进而 $b+c=-4$．