每日一题[1109]k阶比增函数

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，若 $y=\dfrac{f(x)}{x^k}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，其中 $k$ 为正整数，则称 $f(x)$ 为 $k$ 阶比增函数．
（1）已知函数 $f(x)=x^3-2hx^2-hx$，若 $f(x)$ 是 $1$ 阶比增函数，但不是 $2$ 阶比增函数，求实数 $h$ 的取值范围；
（2）已知实数 $m$ 满足对 任意 $2$ 阶比增函数 $f(x)$，均有 $f(x)<m$，求 $m$ 的最小值．

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分析与解　（1）根据已知条件，有

$$\begin{split} \left(\dfrac{f(x)}{x}\right)'&=2x-4h,\\\left(\dfrac{f(x)}{x^2}\right)'&=1+\dfrac{h}{x^2},\end{split}$$ 满足 $$\begin{cases} \forall x>0,2x-4h\geqslant 0,\\ \exists x>0,1+\dfrac{h}{x^2}<0,\end{cases}$$ 于是实数 $h$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$．

（2）若存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)\geqslant 0$，则

$$\dfrac{f(x_0+1)}{(x_0+1)^2}>\dfrac{f(x_0)}{x_0^2}\geqslant 0,$$ 于是 $$\forall x>x_0+1,f(x)>\dfrac{f(x_0+1)}{(x_0+1)^2}\cdot x^2,$$ 与 $f(x)$ 有上界 $m$ 矛盾．因此对任意 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)<0$，实数 $m$ 可以取到 $0$．
另一方面，当 $f(x)=-x$（$x>0$）时，函数 $y=-\dfrac 1x$ 是 $(0,+\infty)$ 上的增函数，此时 $f(x)$ 的上界 $m=0$．
综上所述，$m$ 的最小值为 $0$．