今天的题目是2015年北京市西城区高三二模数学理科的压轴题：
无穷数列\(P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,\)满足\(a_i\in\mathcal N^*\)，且\(a_i\leqslant a_{i+1}\)（\(i\in\mathcal N^*\)）．对于数列\(P\)，记\(T_k(P)\)（\(k\in\mathcal N^*\)）表示集合\(\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}\)中最小的数．
（1）若数列\(P:1,3,4,7,\cdots\)，写出\(T_1(P),T_2(P),\cdots,T_5(P)\)；
（2）若\(T_k(P)=2k-1\)，求数列\(P\)前\(n\)项的和；
（3）已知\(a_{20}=46\)，求\(\sum\limits_{i=1}^{20}{a_i}+\sum\limits_{j=1}^{46}{T_j(P)}\)的值．
正确答案是：
（1）\(1,2,2,3,4\)；
（2）\(\lfloor\dfrac{(n+1)^2}{4}\rfloor\)；
（3）\(966\)．
对于第(3)小问，标准答案中给了两种解法，分别为调整法及一般化后使用数学归纳法，解法都较为繁琐．下面给出另外两种解法．
算两次
设数列\(P\)中有\(m_i\)个\(i\)，其中\(i=1,2,\cdots,46\)，则\[\begin{split}\sum_{i=1}^{46}{m_i}&=20,\\\sum_{i=1}^{46}{\left(im_i\right)}&=a_1+a_2+\cdots+a_{20}.\end{split}\]于是\[\begin{split}&\quad a_1+a_2+\cdots+a_{20}+T_1(P)+T_2(P)+\cdots+T_{46}(P)\\&=\left(a_1+a_2+\cdots+a_{20}\right)+1+\left(m_1+1\right)+\cdots+\left(m_1+m_2+\cdots+m_{45}+1\right)\\&=\sum_{i=1}^{46}{im_i}+46+45m_1+44m_2+\cdots+2m_{44}+m_{45}\\&=\sum_{i=1}^{46}{\left[\left(i+46-i\right)m_i\right]}+46\\&=46\sum_{i=1}^{46}{m_i}+46\\&=46\times {20}+46\\&=966.\end{split}\]
几何解释
以\(P:1,3,4,5,\cdots,45,46\)为例，将\(a_i\)（\(i=1,2,\cdots,20\)）用红色格子的数目表示，如图．那么\(T_j(P)\)（\(j=1,2,\cdots,46\)）的几何意义是高度小于\(j\)的红色柱子的数目（将表示数列中的项的若干红色格子看成红色柱子），也就是从下往上第\(j\)行的绿色格子数．
这样就可以得到\(a_1+a_2+\cdots+a_{19}+a_{20}\)的几何意义为图中所有的红色格子按列从左向右求和，而\(T_1(P)+T_2(P)+\cdots+T_{45}(P)+T_{46}(P)\)的几何意义为图中所有的绿色格子按行从下向上求和，因此所求的和式值为\((1+20)\times 46=966\)．
一般情形
一般的，若\(a_n=m\)，那么\[\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{j=1}^{46}{T_j(P)}=m(n+1).\]
练习题
某次测试成绩满分为\(150\)分，设\(n\)名学生的得分分别为\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)（\(a_i\in\mathcal N,1\leqslant i\leqslant n\)），\(b_k\)（\(1\leqslant k\leqslant 150\)）为\(n\)名学生中得分至少为\(k\)分的人数．记\(M\)为\(n\)名学生的平均成绩，则（ ）
A．\(M>\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}\)
B．\(M=\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{150}\)
C．\(M=\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}\)
D．\(M>\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{150}\)
正确答案是 C．