外森比克不等式和哈德威格尔不等式

证明：
(1) 外森比克（$Weitzenb\ddot{o}ck$）不等式，设$\triangle ABC$的三条边长分别为$a,b,c$，面积为$\Delta$，则有不等式\[a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta.\]
(2) 哈德威格尔（$Hadwiger$）不等式，设$\triangle ABC$的三条边长分别为$a,b,c$，面积为$\Delta$，则有不等式\[a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta +(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.\]

证明　(1)应用海伦公式和均值不等式即可证明，有\[\begin{split}
4\Delta&=\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\
&\leqslant \sqrt{(a+b+c)\cdot \left(\dfrac{a+b+c}3\right)^3}\\
&=\dfrac{(a+b+c)^2}{3\sqrt 3}\\
&\leqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt 3}
,\end{split}\]于是命题得证．

(2)事实上，利用内切圆代换可以得到更强的哈德威格尔（$Hadwiger$）不等式．设$u=\dfrac{-a+b+c}2$，$v=\dfrac{a-b+c}2$，$w=\dfrac{a+b-c}2$，则\[a^2+b^2+c^2-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2=4(uv+vw+wu),\]而由海伦公式，有\[\Delta=\sqrt{uvw(u+v+w)},\]因此\[\begin{split}(uv+vw+wu)^2-3\Delta^2&=(uv+vw+wu)^2-3uvw(u+v+w)\\
&=u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2-u^2vw-uv^2w-uvw^2\\
&=\dfrac{(uv-vm)^2+(vw-wu)^2+(wu-uv)^2}2\\
&\geqslant 0
,\end{split}\]于是命题得证．

注1　哈德威格尔不等式可以变形为\[a(p-a)+b(p-b)+c(p-c)\geqslant 2\sqrt 3\cdot \Delta.\]

注2　有更强的琴思法斯($Tsintsifas$）不等式，设$\triangle ABC$的三条边长分别为$a,b,c$，面积为$\Delta$，则有\[a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca\geqslant \dfrac{9abc}{a+b+c}\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta.\]最强的不等式可以变形为\[abc\geqslant \left(\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^3\cdot \Delta\cdot p,\]其中$p$为$\triangle ABC$的半周长$\dfrac 12(a+b+c)$．
应用琴思法斯($Tsintsifas$）不等式，可得\[\begin{split}a(p-a)+b(p-b)+c(p-c)&\geqslant 3\sqrt[3]{abc(p-a)(p-b)(p-c)}\\
&\geqslant 3\sqrt[3]{\left(\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^3\cdot \Delta\cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}\\
&=2\sqrt 3\cdot \Delta,\end{split}\]此即哈德威格尔不等式．

注3　琴思法斯不等式还可以继续加强到\[\dfrac{abc}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geqslant \dfrac 43\cdot \Delta.\]由射影定理，得\[a=b\cos C+c\cos B,\]再由柯西不等式，可得\[a^2\leqslant (b^2+c^2)\left(\cos^2C+\cos^2B\right),\]即\[\sin^2B+\sin^2C\leqslant 2-\dfrac{a^2}{b^2+c^2},\]因此\[\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leqslant 3-\dfrac 12\left(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\right)\leqslant \dfrac 94,\]即\[a^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2=9\cdot \dfrac{a^2b^2c^2}{16\Delta^2},\]其中$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径．整理即得．