每日一题[980]高斯函数遇到分式函数

设正数$x,y$满足$xy=1$，求$m=\dfrac{x+y}{[x]\cdot[y]+[x]+[y]+1}$的取值范围．

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正确答案是$\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac 56,\dfrac 54\right)$．

分析与解　不妨设$x\geqslant 1$，当$x=1$时，$m=\dfrac 12$；

当$1<x< 2$时，有

$$m=\dfrac 12\left(x+\dfrac 1x\right),$$ 取值范围是$\left(1,\dfrac 54\right)$；

当$x\geqslant 2$时，设$k\leqslant x<k+1$，$k\in\mathbb N^*$且$k\geqslant 2$，则有

$$m=\dfrac{x+\dfrac 1x}{k+1},$$ 考虑到对勾函数的单调性，$m$取值范围是 $$\left[\dfrac{k+\dfrac 1k}{k+1},\dfrac{k+1+\dfrac{1}{k+1}}{k+1}\right),$$ 即$\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}\right)$．

注意到一方面当$k\geqslant 3$时，$\dfrac{k^2+1}{k^2+k}$随$k$单调递增，且当$k=2$与$k=3$时，均有$\dfrac{k^2+1}{k^2+k}=\dfrac 56$；

另一方面，$\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}$随$k$单调递减，于是

$$\bigcup_{k=2}^{\infty}\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}\right)=\left[\dfrac 56,\dfrac {10}{9}\right).$$

综上所述，所求$m$的取值范围是$\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac 56,\dfrac 54\right)$．