每日一题[959]代数式的最值

已知$a,b>0$且$a^2-b+4\leqslant 0$，则$u=\dfrac{2a+3b}{a+b}$(　　)

A．有最大值$\dfrac{14}{5}$
B．有最小值$\dfrac{14}5$
C．没有最小值
D．有最大值$3$

正确答案是B．

分析与解　根据题意，有$b\geqslant a^2+4$，而 $$u=3-\dfrac{a}{a+b},$$ 有$u<3$且当$a\to 0$时，$u\to 3$，因此$u$没有最大值．另一方面，$u$随着$b$的增大而增加，因此 $$u\geqslant 3-\dfrac{a}{a+a^2+4}=3-\dfrac{1}{a+\dfrac 4a+1}\geqslant 3-\dfrac{1}{2\sqrt{a\cdot \dfrac 4a}+1}=\dfrac{14}5,$$ 等号当且仅当$a=2$，$b=8$时取得．因此$u$的最小值为$\dfrac{14}5$．

其他方法　因为$b>0$，可令$t=\dfrac ab$，于是$u$可以写成 $$u=\dfrac {2t+3}{t+1}=2+\dfrac 1{t+1}.$$ 因为$b\geqslant a^2+4$，所以 $$0<t=\dfrac ab\leqslant \dfrac a{a^2+4}=\dfrac 1{a+\frac 4a}\leqslant \dfrac 14,$$ 所以$u\in\left[\dfrac {14}5,3\right)$．