每日一题[934]函数不等式的变形

函数f(x)=x|x|.若存在x[1,+),使得f(x2k)k<0,则k的取值范围是(  )
A.(2,+)
B.(1,+)
C.(12,+)
D.(14,+)

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正确答案是D.

分析与解 若k0,则x2k1,从而有f(x2k)>0>k,不符合题意,所以有k>0

注意到f(x)R上单调递增,如果能将k表示成某点的函数值,则可以直接利用单调性拿掉f,于是我们得到f(x2k)k<0f(x2k)<f(k)x2k<k,
因此存在x[1,+),使得f(x2k)k<0等价于2k+k>1,解得k>14

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