函数f(x)=x|x|.若存在x∈[1,+∞),使得f(x−2k)−k<0,则k的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(12,+∞)
D.(14,+∞)
正确答案是D.
分析与解 若k⩽0,则x−2k⩾1,从而有f(x−2k)>0>k,不符合题意,所以有k>0.
注意到f(x)在R上单调递增,如果能将k表示成某点的函数值,则可以直接利用单调性拿掉f,于是我们得到f(x−2k)−k<0⇔f(x−2k)<f(√k)⇔x−2k<√k,
因此存在x∈[1,+∞),使得f(x−2k)−k<0等价于2k+√k>1,解得k>14.