每日一题[928]旋转加伸缩

已知坐标平面上一点$A(0,6)$，点$B$在$x$轴上运动，$C$是坐标平面内一点且满足$\angle ACB=120^\circ$，$CA=CB$，则线段$OC$长度的最小值是_______．

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正确答案是$\sqrt 3$．

分析与解　如图．设$B(t,0)$，则$C$点是$B$点绕$A$逆时针旋转$\pm 30^\circ$，然后把到$A$的距离变成原来的$\dfrac{1}{\sqrt 3}$得到的点．直接法
因此$C$点的轨迹是$x$轴经过相同的变换方式得到的．$x$轴绕$A$点逆时针旋转$\pm 30^\circ$得到的曲线方程为

$$y=\pm\dfrac{1}{\sqrt 3}x+6-4\sqrt 3,$$ 因此点$C$的轨迹方程为 $$y=\pm\dfrac{1}{\sqrt 3}x+2,$$ 因此线段$OC$的最小值为$O$到这两条直线的距离的较小值，为$\sqrt 3$．

复数法
设$C(x,y)$，则有

$$(x+y{\rm i})-6{\rm i}=(t-6{\rm i})\cdot\dfrac{1}{\sqrt 3}\left[\cos \left(\pm 30^\circ\right)+{\rm i}\sin \left(\pm 30^\circ\right)\right]=\left(\dfrac t2\pm\sqrt 3\right)+{\rm i}\left(\pm\dfrac t{2\sqrt 3}-3\right),$$ 解得 $$(x,y)=\left(\dfrac 12t\pm\sqrt 3,3\pm\dfrac{1}{2\sqrt 3}t\right),$$ 于是点$C$的轨迹方程是 $$x\mp \sqrt 3 y\pm 2\sqrt 3=0,$$ 因此线段$OC$的最小值为$O$到这两条直线的距离的较小值，为$\sqrt 3$．