每日一题[898]寻找不等关系

已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow a+\overrightarrow b$的模均在区间$[1,3]$中，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围为______．

---

正确答案是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．

分析与解　注意到

$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac{\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)^2-\overrightarrow a^2-\overrightarrow b^2}{2}\geqslant \dfrac{1^2-3^2-3^2}{2}=-\dfrac{17}2,$$ 等号当$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=3$，$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=1$时取得．因此$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最小值为$-\dfrac{17}2$．

另一方面，由

$$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)^2\geqslant 0,$$ 有 $$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant \left(\dfrac{\overrightarrow a+\overrightarrow b}2\right)^2\leqslant \dfrac 94,$$ 等号当$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=\dfrac 32$，$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=3$时取得．因此$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最大值为$\dfrac 94$．

综上所述，结合连续性，可得$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．