已知函数$f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$，其中$c>0$．若对于任意的$x\in (0,+\infty)$，都有$f(x)\leqslant 1$，求实数$c$的取值范围．
正确答案是$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．
分析与解 根据题意，有\[\forall x>0,{\log_2}x-2{\log_2}(x+c)\leqslant 1,\]即\[\forall x>0,\dfrac{x}{(x+c)^2}\leqslant 2,\]也即\[\forall x>0,c\geqslant \sqrt{\dfrac x2} -x.\]而\[\sqrt{\dfrac x2}-x=\sqrt {x}\left(\sqrt{\dfrac 12}-\sqrt x\right)\leqslant \dfrac 18,\]等号当$x=\dfrac {1}8$时取得，因此实数$c$的取值范围是$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．
注 也可以将恒成立条件转化为$$\forall x>0,\dfrac {(x+c)^2}{x}=x+\dfrac{c^2}x+2c\geqslant \dfrac 12$$恒成立，由均值不等式知左边的最小值为$4c$，所以$4c\geqslant \dfrac 12$，得到$c\geqslant \dfrac 18$．