每日一题[847]逃不开的轨迹

若实数$a,b,c$成等差数列，点$P(-1,0)$在动直线$ax+by+c=0$上的投影为$M$，点$N(3,3)$，求线段$MN$长度的取值范围．

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正确答案是$\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$．

分析与解　由于实数$a,b,c$成等差数列，因此动直线$l:ax+by+c=0$恒过点$A(1,-2)$．根据题意，$\angle PMA$恒为直角，因此点$M$的轨迹是以$PA$为直径的圆

$$(x+1)(x-1)+(y-0)(y+2)=0,$$ 即 $$x^2+(y+1)^2=2,$$ 因此线段$MN$长度的取值范围是$\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$．