每日一题[835]摸着石头过河

已知函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$，是否存在实数$a$，使得关于$x$的不等式$f(x)\geqslant a$的解集为$(0,+\infty)$？若存在，求$a$的取值范围；若不存在，请说明理由．

解　$a$存在，$a$的取值范围是$(-\infty,0]$．

不等式$f(x)\geqslant a$即 $$(x+1)\ln (x+1)-x\ln x\geqslant a(x+1),$$ 注意到$\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$，于是当$x\to 0^+$时，左边趋于$0$，因此$a\leqslant 0$．下面进行讨论．

情形一　$a\leqslant 0$．此时 $$LHS=x\cdot \ln\dfrac{x+1}{x}+\ln (x+1)>0\geqslant a(x+1),$$ 符合题意．

情形二　$a>0$．我们去寻找$x_0$，使$(x_0+1)\ln (x_0+1)<\dfrac a2$和$x_0\ln\dfrac 1{x_0}<\dfrac a2$同时成立，这样就有当$x=x_0$时，有 $$LHS=(x_0+1)\ln(x_0+1)+x_0\ln \dfrac{1}{x_0}<\dfrac a2+\dfrac a2<a<a(x_0+1),$$ 不符合题意．

先寻找$(x+1)\ln(x+1)<\dfrac a2$的充分条件．由于 $$(x+1)\ln(x+1)<x(x+1)=x^2+x,$$ 于是当$0<x<\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2}$时，就有 $$(x+1)\ln(x+1)<x^2+x<\dfrac a2.$$
再寻找$x\ln\dfrac 1x<\dfrac a2$的充分条件，由于 $$x\ln\dfrac 1x<x\cdot 2\left(\dfrac 1{\sqrt x}-1\right)=2\sqrt x-2x<2\sqrt x,$$ 于是当$x<\dfrac{a^2}{16}$时，就有 $$x\ln\dfrac 1x<2\sqrt x<\dfrac a2.$$ 综上，取 $$x_0=\dfrac 12\min\left\{\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2},\dfrac{a^2}{16}\right\}$$ 即可．

综合以上两种情形，$a$的取值范围是$(-\infty,0]$．