已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线MN过焦点F且与抛物线C交于M,N两点,P为抛物线C准线l上一点,且PF⊥MN.连结PM交y轴于Q点,过Q作QD⊥MF于点D,若|MD|=2|FN|,求|MF|.
分析与解 如图.
设M(4m2,4m),N(4n2,4n),则根据抛物线的平均性质,有4m2⋅4n2=1.
根据题意,有|MD||FN|=|MQ||MP|⋅|MF||FN|=4m24m2+1⋅4m2+14n2+1=4m24n2+1=2,
于是可得2m2=4n2+1,
将4n2=14m2代入,可得2m2=14m2+1,
即8m4−4m2−1=0,
解得m2=1+√34,因此|MF|=4m2+1=2+√3.