每日一题[822]别无选择

已知$\triangle ABC$中，$3\sin^2B+7\sin^2C=2\sin A\sin B\sin C+2\sin^2A$，求$\sin\left(A+\dfrac{\pi}4\right)$的值．

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正确答案是$-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$．

分析与解　由正弦定理，可得

$$3b^2+7c^2=2bc\sin A+2a^2,$$ 又根据余弦定理，可得 $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$ 于是又 $$b^2+5c^2=2bc(\sin A-2\cos A).$$ 而 $$b^2+5c^2\geqslant 2\sqrt 5bc\geqslant 2bc(\sin A-2\cos A),$$ 因此有 $$\sin A-2\cos A=\sqrt 5,$$ 于是 $$\sin^2A=\left(2\cos A+\sqrt 5\right)^2=1-\cos^2A,$$ 即 $$5\cos^2A+4\sqrt 5\cos A+4=0,$$ 解得$\cos A=-\dfrac{2}{\sqrt 5}$．因此 $$\sin\left(A+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}2\left(\sin A+\cos A\right)=\dfrac{\sqrt 2}2\left[(\sin A-2\cos A)+3\cos A\right]=-\dfrac{\sqrt {10}}{10}.$$