已知正实数$x,y$满足$x^3+2y^3=x-y$，求使$x^2+ky^2\leqslant 1$恒成立的$k$的最大值．
正确答案是$2+2\sqrt 3$．
分析与解 根据题意，有\[x-y=x^3+2y^3>0,\]于是\[(x^2+ky^2)(x-y)\leqslant x^3+2y^3,\]即\[-x^2y+kxy^2-ky^3\leqslant 2y^3,\]也即\[k\leqslant \dfrac{t^2+2}{t-1},\]其中$t=\dfrac xy$，$t>1$．而\[\dfrac{t^2+2}{t-1}=t-1+\dfrac{3}{t-1}+2\geqslant 2+2\sqrt 3,\]等号当$t=1+\sqrt 3$时取得．因此所求$k$的最大值为$2+2\sqrt 3$．