已知函数$f(x)=2x|x|$，若对任意的$x\geqslant 1$，$f(x-m)-mf(x)<0$恒成立，则实数$m$的取值范围是________．
正确答案是$\left[1,+\infty\right)$．
分析与解 根据题意，函数$f(x)$是单调递增的奇函数，且$$mf(x)=2mx|x|=\begin{cases} f(\sqrt m x),&m\geqslant 0,\\ f(-\sqrt {-m} x),&m<0.\end{cases} $$因此问题转化为$$\begin{cases} m\geqslant 0,\\ \forall x\geqslant 1,x-m<\sqrt m x,\end{cases}$$或$$\begin{cases} m<0,\\ \forall x\geqslant 1,x-m<-\sqrt{-m}x,\end{cases} $$解得$m\geqslant 1$．