每日一题[791]圆与双曲线

设$F_1,F_2$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点,双曲线$C$与圆$x^2+y^2=r^2$的一个交点为$P$,若$\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}$的最大值为$4\sqrt 2$,则双曲线的离心率$e$为________.


正确答案是$2\sqrt 2$.

分析与解 法一 

设$P\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)$,则由双曲线的焦半径公式,有\[\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}=\dfrac{e\cdot r\cos\theta+a+e\cdot r\cos\theta-a}{r}=2e\cos\theta,\]显然当$\theta=0$时该式取得最大值,从而$e=2\sqrt 2$.

法二 设$|PF_1|,|PF_2|$的长分别为$x,2a+x$,分别在$\triangle PF_1O,\triangle PF_2O$内对$\angle POF_1,\angle POF_2$应用余弦定理得到$$\dfrac {r^2+c^2-(2a+x)^2}{2rc}+\dfrac {r^2+c^2-x^2}{2rc}=0,$$整理得$$(a+x)^2=c^2-a^2+r^2,$$于是有$$\left(\dfrac {a+x}{r}\right)^2=1+\dfrac {c^2-a^2}{r^2}\leqslant 1+\dfrac {c^2-a^2}{a^2},$$当$r=a$时取到等号.

于是我们得到$$1+\dfrac {c^2-a^2}{a^2}=\dfrac {c^2}{a^2}=8,$$从而有$e=2\sqrt 2$.

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