每日一题[752]差小积大

直角三角形的三边$a,b,c$满足$3\leqslant a\leqslant 5\leqslant b\leqslant 8\leqslant c\leqslant 9$，则其面积的最大值为________．

分析与解　正确答案是$5\sqrt{14}$．

因为直角三角形面积为$\dfrac 12ab$，所以$a,b$越大越好，而$5^2+8^2>9^2$，所以面积取最大值时$c=9$．设 $$a=9\cos\theta\in[3,5],b=9\sin\theta\in[5,8],$$ 则面积$S=\dfrac 12ab=\dfrac {81}4\sin{2\theta}$．因为$\cos\theta\in\left[\dfrac 13,\dfrac 59\right]$，所以 $$\sin\theta\in\left[\dfrac 29\sqrt{14},\dfrac 23\sqrt 2\right]\cap\left[\dfrac 59,\dfrac 89\right]=\left[\dfrac 29\sqrt{14},\dfrac 89\right],$$ 所以$\sin{2\theta}$的最大值为$2\cdot\dfrac 29\sqrt{14}\cdot\dfrac 59=\dfrac {20}{81}\sqrt{14}$，从而面积最大值为$5\sqrt{14}$．

事实上，如果$a,b$没有其它限制，则当$a=b=\dfrac 92\sqrt 2$时，三角形的面积有最大值，但$\dfrac 92\sqrt 2>5$，即$a$边长太短，达不到最值要求，在$a^2+b^2=81$时，有 $$2ab=a^2+b^2-(a-b)^2=81-(a-b)^2,$$ 所以$a,b$的差越小，$ab$越大，从而当$a=5$时，积最大，对应面积的最大值．

同样的，在均值不等式时，如果两正数的和$a+b$为定值，那么有 $$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2,$$ 所以同样有“和为定值时，差越小，积越大”．