每日一题[717]限制条件下的最值

已知$m,n\geqslant 0$，函数$f(x)=\dfrac 12(m-2)x^2+(n-8)x+1$在区间$\left[\dfrac 12,2\right]$上单调递减，则$mn$的最大值是________．

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分析与解　由$m,n\geqslant 0$，$f'\left(\dfrac 12\right)\leqslant 0$，$f'(2)\leqslant 0$得

$$\begin{cases} 2n+m\leqslant 18,\\2m+n\leqslant 12.\end{cases}$$ 规划如下：

可得$mn$的最大值是$18$，当$m=3,n=6$时取到最大值．

另法　不借助导数，需要按$m-2$的符号的正负进行讨论，得到$m,n$的限制条件：

①当$m-2=0$时，有$n<8$，此时$mn<16$；

②当$m-2<0$时，即$0<m<2$时，有

$$-\dfrac {n-8}{m-2}\leqslant \dfrac 12,$$ 化简得$m+2n\leqslant 18$，此时有 $$mn<2n\leqslant 18-m<18.$$

③$m-2>0$时，即$m>2$时，有

$$-\dfrac {n-8}{m-2}\geqslant 2,$$ 化简得$2m+n\leqslant 12$，此时 $$mn\leqslant m(12-2m)=2m(6-m)\leqslant 2\cdot\left(\dfrac {m+6-m}{2}\right)^2=18,$$ 当且仅当$m=3,n=6$时取到等号．

综上知，$mn$的最大值为$18$．