每日一题[715]代数式的最值

已知二次函数$f(x)=ax^2-4x+c$($x\in\mathcal{R}$)的值域为$[0,+\infty)$，则$\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{9}{a+9}$的最大值是________．

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分析与解　根据题意，有$ac=4$，且$a,c>0$，于是

$$\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{9}{a+9}=\dfrac{a}{4+a}+\dfrac{9}{a+9},$$ 设$m=a+4$，$n=a+9$，则$a=\dfrac{9m-4n}5$，$1=\dfrac{n-m}5$，于是 $$\dfrac{a}{4+a}+\dfrac{9}{a+9}=\dfrac 95-\dfrac 45\cdot \dfrac nm+\dfrac 95-\dfrac 95\cdot \dfrac mn\leqslant \dfrac {18}5-2\sqrt{\dfrac 45\cdot \dfrac 95}=\dfrac 65,$$ 等号当$2n=3m$，即$a=6$时取得．因此所求的最大值为$\dfrac 65$．

注　也可以不换元直接求代数式的最值，由

$$\dfrac 1{c+1}+\dfrac 9{a+9}=\dfrac a{a+4}+\dfrac 9{a+9}=\dfrac{a^2+18a+36}{a^2+13a+36}=1+\dfrac 5{a+\frac{36}{a}+13}\leqslant \dfrac 65.$$ 当$a=6$时取到等号．