每日一题[691]边界定乾坤

已知适合不等式 $\left|x^2-4x+a\right|+|x-3|\leqslant 5$ 的 $x$ 的最大值为 $3$ ，求实数 $a$ 的值，并解该不等式．

　设 $f(x)=\left|x^2-4x+a\right|$ ， $g(x)=5-|x-3|$ ，则

f (3) = | a - 3 | ⩽ g (3) = 5,

$f(3)=\left|a-3\right|\leqslant g(3)=5,$ 于是

| a - 3 | ⩽ 5

$|a-3|\leqslant 5$ ．

　 $|a-3|=5$ ．此时 $a=8$ 或 $a=-2$ ，如图．不难得到 $a=8$ 符合题意，此时不等式的解集为 $[2,3]$ ．

　 $|a-3|<5$ ．此时 $-2<a<8$ ．

由于 $f(3)<g(3)$ ，而 $f(9)\geqslant 0>g(9)$ ，于是函数 $y=f(x)-g(x)$ 在区间 $(3,9)$ 上必有零点 $x_0$ ，与满足不等式的 $x$ 的最大值为 $3$ 矛盾．

综上，实数 $a$ 的值为 $8$ ，该不等式的解集为 $[2,3]$ ．

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