与三角形三边相关的不等式证明

在$\triangle ABC$中，三边长为$a,b,c$，求证：$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c)$．

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证明　令$a=y+z,b=z+x,c=x+y$，其中$x,y,z>0$，则原不等式等价于

$$4(z+x)^3(x+y)^3\geqslant (2x+y+z)^2\cdot 4x^2\cdot 2y\cdot 2z,$$ 即 $$(x+y)^3(x+z)^3\geqslant 4x^2yz(2x+y+z)^2.$$

代数证明　展开整理，即

$$x^6+x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+x^2y^2z^2+3x^4(y-z)^2+3x(y+z)\left(x^2-yz\right)^2\geqslant x^2yz(x^2+y^2+z^2+xy+xz),$$ 因此只需要证明 $$x^6+x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+3x^2y^2z^2\geqslant xyz\left(x^3+xy^2+xz^2+x^2y+x^2z+2xyz\right),$$ 根据三元Schur不等式，有 $$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+3x^2y^2z^2\geqslant xyz\left(xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x\right),$$ 因此只需要证明 $$x^6+xy^3z^2+xy^2z^3\geqslant 2x^2y^2z^2+x^4yz.$$ 事实上，由均值不等式 $$x^6+x^2y^2z^2\geqslant 2x^4yz,$$ 且 $$x^4yz+xy^3z^2+xy^2z^3\geqslant 3x^2y^2z^2,$$ 两式相加即得分析之后的不等式，因此原不等式得证，且等号取得的条件是$x=y=z$，即$a=b=c$，也即$\triangle ABC$为正三角形．

三角证明　欲证明不等式即

$$\dfrac{(x+y)(x+z)}{x^2yz}\geqslant 4\left[\dfrac{2x+y+z}{(x+y)(x+z)}\right]^2,$$ 也即 $$\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y\right)\left(\dfrac 1x+\dfrac 1z\right)\geqslant 4\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)^2,$$ 也即 $$\left(1+\dfrac xy\right)\left(1+\dfrac xz\right)\geqslant 4\left(\dfrac{1}{1+\dfrac yx}+\dfrac{1}{1+\dfrac zx}\right)^2,$$ 令$\dfrac yx=\tan^2\alpha,\dfrac zx=\tan^2\beta$，其中$\alpha,\beta\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则上述不等式即 $$\dfrac{1}{\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta}\geqslant 4\left(\cos^2\alpha+\cos^2\beta\right)^2,$$ 也即 $$2\sin\alpha\sin\beta\left(\cos^2\alpha+\cos^2\beta\right)\leqslant 1.$$ 事实上，上式 $$\begin{split} LHS&=\sin 2\alpha\cdot \sin\beta\cos\alpha+\sin 2\beta\cdot \cos\beta\sin\alpha\\ &\leqslant \sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha\\ &=\sin(\alpha+\beta)\leqslant 1,\end{split}$$ 等号当且仅当$\alpha=\beta=\dfrac{\pi}4$时取得，因此原不等式得证，且等号取得的条件是$x=y=z$，即$a=b=c$，也即$\triangle ABC$为正三角形．