一道整除问题

试确定所有使得$\left({\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^3\right)\mid 2^n$的正整数$n$($n\geqslant 3$)．

分析与解　因为左边的组合数的和等于$\dfrac 16(n+1)(n^2-n+6)$，所以题意即 $$(n+1)(n^2-n+6)=3\cdot 2^m,m\in\mathcal N,m<n.$$
情形一　$n+1=2^k$．

此时 $$2^k[(2^k-1)^2-(2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$ 即 $$2^{3k}+2^{k+3}-2^{2k+1}-2^{2k}=2^{m+1}+2^m,$$ 有解$(k,m)=(2,4),(3,7)$，而当$k\geqslant 4$时，有 $$3k>2k+1>2k>k+3,$$ 于是该方程无解．

情形二　$n+1=3\cdot 2^k$．

此时 $$3\cdot 2^k[(3\cdot 2^k-1)^2-(3\cdot 2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$ 即 $$2^{3k+3}+2^{3k}-2^{2k+3}-2^{2k}+2^{k+3}=2^m,$$ 有解$(k,m)=(3,12)$，而当$k\geqslant 4$时，有 $$3k+3>3k>2k+3>2k>k+3,$$ 于是该方程无解．

综上所述，所有符合题意的正整数$n$为$3,7,23$．