每日一题[629]充分条件先行

已知$f(x)=a\ln x+\dfrac{1-a}2x^2-x$，若存在$x\geqslant 1$，使得$f(x)<\dfrac a{a-1}$，则实数$a$的取值范围是______．

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分析与解　由于$f(1)=-\dfrac{1+a}2$，解不等式

$$f(1)<\dfrac{a}{a-1},$$ 即 $$\ \dfrac{a^2+2a-1}{2(a-1)}>0,$$ 得$-1-\sqrt 2<a<-1+\sqrt 2$或$a>1$．这是使得命题成立的充分条件．

考虑$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac ax+(1-a)x-1=\dfrac{(x-1)[(1-a)x-a]}{x},$$ 当$f(1)\geqslant \dfrac{a}{a-1}$时，有$a\leqslant -1-\sqrt 2$或$-1+\sqrt 2\leqslant a<1$，此时一定有$1-a>0$．
如果$\dfrac {a}{1-a}\leqslant 1$，则$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，命题不可能成立；所以只能有$\dfrac {a}{1-a}>1$，此时$\dfrac 12<a<1$，$f(x)$在$(1,+\infty)$上有唯一的极小值点$\dfrac {a}{1-a}$，但极小值 $$f\left(\dfrac{a}{1-a}\right)=a\ln\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{a^2}{2(1-a)}-\dfrac{a}{1-a}>\dfrac{a}{a-1},$$ 不符合题意．综上所述，$a$的取值范围是$(-1-\sqrt 2,-1+\sqrt 2)\cup (1,+\infty)$．

说明　通过分析端点，可以得到恒成立问题的必要条件以及存在性问题的充分条件．