每日一题[625]冻结变量

设$0<p\leqslant a,b,c,d,e\leqslant q$，求证： $$(a+b+c+d+e)\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2.$$

分析与证明　将不等式左边看成关于$a$的函数，可得 $$LHS=\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\cdot a+\left(b+c+d+e\right)\cdot\dfrac 1a+\left(b+c+d+e\right)\cdot\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)+1,$$ 由对勾函数的性质，可得函数取最大值时$a=p$或$a=q$．类似的，可得当$a,b,c,d,e\in \{p,q\}$时，不等式左侧取得最大值．假设$a,b,c,d,e$中有$x$个$p$，$5-x$个$q$，则 $$\begin{split} LHS&=[px+(5-x)q]\cdot\left[\dfrac{x}{p}+\dfrac{5-x}{q}\right]\\& =\left[(p-q)x+5q\right]\cdot \left[\left(\dfrac 1p-\dfrac 1q\right)x+\dfrac 5q\right]\\&=-\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2x^2+5\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2x+25\\ &\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2,\end{split}$$ 等号当$x=2$或$x=3$时取得．因此原命题得证．