一道三角最值问题

已知$A,B,C\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且$\sin^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2C=1$，求$A+B+C$的最大值．

分析与解　方法一
固定$C$，设$0<\sin^2{A}+\sin^2{B}=t<1$，由于
$$\begin{split} \sin^2{A}+\sin^2{B}&=\left(\sin{A}+\sin{B}\right)^2-2\sin{A}\sin{B}\\ &=4\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos^2{\dfrac{A-B}{2}}+\cos{\left(A+B\right)}-\cos{\left(A-B\right)}\\ &=4\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos^2{\dfrac{A-B}{2}}+1-2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}-\cos{\left(A-B\right)}\\ &=2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos{\left(A-B\right)}-\cos{\left(A-B\right)}+1\\ &=t, \end{split}$$
故 $$2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}=\dfrac{t-1}{\cos{\left(A-B\right)}}+1,$$
所以“$A+B$取得最大值”等价于“$\cos{\left(A-B\right)}$取得最大值”，由此可知$A=B$．此时 $$A+B+C=2\arcsin{\sqrt{\dfrac{t}{2}}}+\arcsin{\sqrt{1-t}}.$$

令 $$f(t)=2\arcsin{\sqrt{\dfrac{t}{2}}}+\arcsin{\sqrt{1-t}},$$
则 $$f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2t-t^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{t-t^2}},$$
易知当且仅当$t=\dfrac{2}{3}$时，$f(t)$取得最大值$3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．

综上所述，$A+B+C$的最大值为$3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．

方法二　由$\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=1$，可知$\cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}=1$．

令$x=2A,y=2B,z=2C$，则$0<x,y,z<\pi$，$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$，$A+B+C=\dfrac{x+y+z}{2}$．

不妨设$x \leqslant y \leqslant z$．

情形一　若$0<x \leqslant y \leqslant z<\dfrac{\pi}{2}$，则由琴生不等式可知
$$\cos{\dfrac{x+y+z}{3}}\geqslant \dfrac{\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}}{3}=\dfrac{1}{3},$$
故$\dfrac{x+y+z}{3} \leqslant \arccos{\dfrac{1}{3}}$，当且仅当$x=y=z=\arccos{\dfrac{1}{3}}$时等号成立，所以此时$x+y+z$的最大值为$3\arccos{\dfrac{1}{3}}$．

情形二　若$z \geqslant \dfrac{\pi}{2}$，此时显然有$0<x \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}{2}$．

固定$z$，由琴生不等式可知$x=y$时，$x+y$取得最大值．故原问题等价于“已知$x,w\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，$2\cos{x}-\cos{w}=1$，求$\pi +2x-w$的最大值”．

令$g(x)=2x-w=2x-\arccos{\left(2\cos{x}-1\right)}$，因为$2\cos{x}=1+\cos{w} \geqslant 1$，所以$0<x \leqslant \dfrac{\pi}{3}$．

下面我们来证明 $$g'(x)=2-\dfrac{2\sin{x}}{\sqrt{4\cos{x}-4\cos^2{x}}}\geqslant 0.$$
事实上，用分析法
$$\begin{split} g'(x)\geqslant 0&\Leftarrow \sin^2{x} \leqslant 4\cos{x}-4\cos^2{x}\\ &\Leftarrow 3\cos^2{x}-4\cos{x}+1\leqslant 0\\ &\Leftarrow \left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0, \end{split}$$
由于$0<x \leqslant \dfrac{\pi}{3}$，所以$\dfrac{1}{2}\leqslant \cos{x}<1$，故$\left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0$成立．因此 $$g(x)_{\max}=g \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2},$$ 故此时$\left(\pi +2x-w\right)_{\max}=\dfrac{7\pi}{6}$．由于$3\arccos{\dfrac{1}{3}}>\dfrac{7\pi}{6}$，所以综合情形一与情形二可知，$A+B+C$的最大值为$\dfrac{3}{2}\arccos{\dfrac{1}{3}}$．