每日一题[617]凹凸有致

函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in\left[a,b\right]$，有

$$f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\leqslant\dfrac 12\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right],$$ 则称 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上具有性质 $P$．设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上具有性质 $P$，现给出如下命题：
(1) $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上的图象是连续不断的；
(2) $f\left(x^2\right)$ 在 $\left[1,\sqrt 3\right]$ 上具有性质 $P$；
(3) 若 $f\left(x\right)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $1$，则 $f\left(x\right)=1$，$x\in\left[1,3\right]$；
(4) 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\left[1,3\right]$，有 $$f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant \dfrac 14\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right].$$ 其中真命题的序号为________．

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分析与解　命题(1)不正确，反例为

$$f(x)=\begin{cases} 2,x=1,\\ 1,x\in (1,3]\end{cases} ;$$ 命题(2)不正确，反例为$f(x)=-x^{\frac 14}$，此时$f(x^2)=x^{\frac 12}$；再比如$f(x)=-x$具有性质$P$，$f(x^2)=-x^2$也不具有性质$P$；

命题(3)正确，对任意$x\in [0,1]$，都有

$$1=f\left(\dfrac{(2-x)+(2+x)}2\right)\leqslant \dfrac 12\left[f(2-x)+f(2+x)\right],$$ 又$f(2-x),f(2+x)\leqslant 1$，从而 $$f(2-x)=f(2+x)=1,$$ 这就证明了$f(x)=1$，$x\in [1,3]$；

命题(4)正确，这是因为

$$\begin{split} f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant &\dfrac 12\left[f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)+f\left(\dfrac{x_3+x_4}2\right)\right]\\\leqslant &\dfrac 14\left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)\right].\end{split}$$ 综上所述，所有正确的命题是(3)(4)．