逆否命题与反证法

在原命题、逆命题、否命题与逆否命题中，原命题与逆否命题等价（同真同假），所以证明一个命题成立可以去证明它的逆否命题成立，即先否定结论，在这个否定的结论下，去推出原来的条件的否定成立．

例题一　(1)判断命题“如果$x+y\neq 3$，那么$x\neq 1$或$y\neq 2$”的真假；

(2)已知$a\in\mathcal{N}^*$，若$\sqrt{a}\notin\mathcal{Z}$，证明：$\sqrt{a}\notin \mathcal{Q}$．

分析与解　(1)对于这个命题，判断它的逆否命题会更清晰，它的逆否命题是：如果$x=1$且$y=2$，那么$x+y=3$，显然这是一个真命题；

(2)要直接利用这个条件$\sqrt{a}\notin\mathcal{Z}$并不容易，我们转为证明它的逆否命题，注意大前提保持不变，它的逆否命题为：已知$a\in\mathcal{N}^*$，若$\sqrt{a}\in \mathcal{Q}$，则$\sqrt{a}\in\mathcal{Z}$．

因为$\sqrt a\in\mathcal{Q}$，所以$$\exists m,n\in\mathcal{Z},(m,n)=1,\sqrt a=\dfrac mn.$$于是有$n^2a=m^2$，所以$n^2|m^2$，从而有$n|m$，但$(m,n)=1$，所以$n=1$，从而有$\sqrt a=m\in\mathcal{Z}$．所以逆否命题为真，从而原命题得证．

如果一个命题的条件与结论都是否定性质的，考虑逆否命题有时会带来方便．比证明逆否命题更常见的是反证法（证明逆否命题可以认为是反证法的一种特殊情形）．反证法除了可以利用被否定的结论外，还可以同时利用原来的题目条件去推出矛盾．所以反证法相当于给原来的问题添加了一个条件（即被否定的结论），从而降低了题目入手难度．

例题二　(1)已知$a,b,c\in (0,4)$，证明：$(4-a)b,(4-b)c,(4-c)a$不可能同时大于$4$；
(2)已知$A,B,C$是椭圆$\dfrac {x^2}{4}+y^2=1$上的三个点，当点$B$不是椭圆的顶点时，证明四边形$OABC$不可能是菱形．

分析　一般来说，结论中有不可能同时、至多存在、至少存在等相关描述时，常常使用反证法．使用反证法时一般会先声明，并清晰地写出结论的否定，再着手证明．

(1)证明　用反证法．如果结论不成立，那么$(4-a)b,(4-b)c,(4-c)a$都大于$4$．
因为$a,b,c\in (0,4)$，所以$$\begin{split} 2<\sqrt{(4-a)b}\leqslant \dfrac {4-a+b}{2},\\2<\sqrt{(4-b)c}\leqslant \dfrac {4-b+c}{2},\\2<\sqrt{(4-c)a}\leqslant \dfrac {4-c+a}{2}. \end{split} $$三式对应相加得$$6<\dfrac {4-a+b+4-b+c+4-c+a}{2}=6,$$矛盾．所以结论成立．

(2)证明　用反证法．如果结论不成立，则假设四边形$OABC$是菱形．当点\(B\)不是椭圆的顶点时，直线\(OB\)和直线\(AC\)的斜率都存在，设\(OB\)与\(AC\)相交于点\(M\)，则\(M\)平分\(AC\)．
由椭圆的垂径定理得\[k_{AC}\cdot k_{OM}=-\dfrac {b^2}{a^2}=-\dfrac 14,\]于是\(AC\)与\(OM\)不垂直，与四边形\(OABC\)是菱形矛盾．
因此四边形\(OABC\)不可能为菱形．

最后给出两道练习：

练习一　已知直线$y=kx+b$，如果$k,b$中至少有一个为无理数，证明：该直线上不可能存在$2$个整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）．

提示　证明它的逆否命题即可．

练习二　已知$a,b,c>0$，且$a,b,c$构成公差不为零的等差数列，证明：$\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c$不可能是等差数列．

提示　反证法加上均值不等式即可．

注　原命题与否命题的真假并没有关系，即“若$p$，则$q$”成立时，我们并不知道“若$\neg p$”，那么会有什么结论．比如说，如果$x>y$，那么$x+1>y$．但是如果$x\leqslant y$，那么我们得不到$x+1$与$y$的大小关系．在现实生活中，常常有人在否定条件后，认为可以得到否定的结论，这是没有道理的．