练习题[15]创新能力培养基础练习

1、设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)．如果存在非零常数\(T\)，对任意\(x\in D\)，都有\(f(x+T)=T\cdot f(x)\)，则称函数\(y=f(x)\)是“似周期函数”．非零常数\(T\)为函数\(y=f(x)\)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

① 如果“似周期函数”\(y=f(x)\)的“似周期”为\(-1\)，那么它是以\(2\)为周期的周期函数；

② 函数\(f(x)=x\)是“似周期函数”；

③ 函数\(f(x)=2^{-x}\)是“似周期函数”；

④ 如果函数\(f(x)=\cos{2\omega x}\)是“似周期函数”，那么\(\omega =k\pi,k\in\mathcal Z\)．

其中，真命题的序号是_______．

2、已知圆\(C\)的圆心\(C\)在抛物线\(x^2=4y\)上移动且过\(A(0,2)\)．若圆\(C\)与\(x\)轴交于\(M\)、\(N\)两点，当\(\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{AN}{AM}\)取最大值时，圆\(C\)的方程为_______．

3、已知自然数\(a,b,c,d,e\)满足\(1\leqslant a<b<c<d<e\leqslant 100\)，则\(a+\dfrac bc+\dfrac de\)取得最小值时，\(a+b+c+d+e=\)_______．

4、在直角三角形\(ABC\)中，\(C\)为直角，\(AC=3\)，\(BC=4\)，线段\(EF\)的端点\(E\)、\(F\)分别在边\(BC\)和\(BA\)上，且分三角形\(ABC\)为面积相等的两个部分，则线段\(EF\)长度的最小值为_______．

5、已知三个正数\(a,b,c\)满足\(a\leqslant b+c\leqslant 3a\)，\(3b^2\leqslant a(a+c)\leqslant 5b^2\)，则\(\dfrac{b-2c}{a}\)的最小值是_______．

6、已知\(a,b\)为正实数，且\(a+b=2\)，则\(\dfrac{a^2+2}a+\dfrac{b^2}{b+1}\)的最小值为_______．

7、已知函数\(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x-1}\)，\(g(x)=\dfrac{k}{x}\)（\(k\in \mathcal N^*\)），若对任意的\(c>1\)，存在实数满足\(0<a<b<c\)，使得\(f(c)=f(a)=g(b)\)，则\(k\)的最大值为_______．

参考答案

 1、①③．

2、\(x^2+y^2\pm 4\sqrt 2x-4y+4=0\)．提示：注意\(\dfrac{AM}{AN}\)越大，\(\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{AN}{AM}\)就越大．

3、\(132\)．    提示：\(a+b+c+d+e=1+2+14+15+100\)．

4、\(2\)．    提示：利用余弦定理．

5、\(-\dfrac{18}5\)．    提示：齐次化后线性规划．

6、\(2+\dfrac{2\sqrt 2}{3}\)．    提示：换元\(b+1=t\)．

7、\(3\)．     提示：\(k\)由\(\forall x>1,\dfrac{1+\ln x}{x-1}>\dfrac{k}{x}\)限定．