每日一题[572]合理解读条件

已知函数$f(x)=2\ln x-ax^2+1$，存在实数$m$，使得方程$f(x)=m$的两个实根$\alpha,\beta$均在区间$[1,4]$内，且$\beta-\alpha=1$，求实数$a$的取值范围．

分析与解　原问题即存在$x\in [1,3]$使得$f(x+1)=f(x)$．上述方程即$$2\ln (x+1)-a(x+1)^2+1=2\ln x-ax^2+1,$$整理得$$a=2\cdot \ln\left(1+\dfrac 1x\right)\cdot \dfrac{1}{2x+1},$$上述等式右侧函数在区间$[1,3]$上单调递减，因此$a$的取值范围是$\left[\dfrac 27\ln\dfrac 43,\dfrac{2\ln 2}{3}\right]$．