每日一题[572]合理解读条件

已知函数 $f(x)=2\ln x-ax^2+1$ ，存在实数 $m$ ，使得方程 $f(x)=m$ 的两个实根 $\alpha,\beta$ 均在区间 $[1,4]$ 内，且 $\beta-\alpha=1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

　原问题即存在 $x\in [1,3]$ 使得 $f(x+1)=f(x)$ ．上述方程即

$2\ln (x+1)-a(x+1)^2+1=2\ln x-ax^2+1,$ 整理得

$a=2\cdot \ln\left(1+\dfrac 1x\right)\cdot \dfrac{1}{2x+1},$ 上述等式右侧函数在区间

$[1,3]$ 上单调递减，因此

$a$ 的取值范围是

$\left[\dfrac 27\ln\dfrac 43,\dfrac{2\ln 2}{3}\right]$ ．

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