已知$n\geqslant 5$且$n\in\mathcal N^*$，求证：$\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}>\dfrac{1}{2(n-1)}$．
分析与证明 考虑到不等式左边的代数结构，可以尝试利用积分放缩与裂项放缩．
积分放缩 如图．
由于函数$y=\dfrac{1}{x^2}$下凸，因此有矩形面积的和(注意最后一个矩形单独计算)大于曲边梯形的面积与小三角形面积之和，即\[\begin{split} &\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}\\>&\int_{n}^{2n}\dfrac{1}{x^2}{\rm d}x+\dfrac{1}{(2n)^2}+\dfrac 12 \left[\dfrac 1{n^2}-\dfrac{1}{(2n)^2}\right]\\=&\left.\left(-\dfrac 1x\right)\right|_{n}^{2n}+\dfrac 12 \left[\dfrac 1{n^2}+\dfrac{1}{(2n)^2}\right]\\ =&\dfrac 1n-\dfrac{1}{2n}+\dfrac 12 \left[\dfrac 1{n^2}+\dfrac{1}{(2n)^2}\right] \\ =&\dfrac{4n+5}{8n^2},\end{split} \]接下来用分析法证明$$\dfrac{4n+5}{8n^2}\geqslant \dfrac{1}{2(n-1)},$$整理即为$n\geqslant 5$，这显然成立．
综上所述，原不等式得证．
注 在积分放缩中，利用函数的凹凸性提高积分放缩的精度．
裂项放缩 考虑将$\dfrac{1}{n^2}$裂项放缩为$$\begin{split} \dfrac{1}{n^2}\geqslant &\dfrac{1}{(n-\lambda)(n+1-\lambda)}\\=&\dfrac{1}{n-\lambda}-\dfrac{1}{n+1-\lambda}, \end{split} $$则不等号成立的条件为$$n^2\leqslant (n-\lambda)(n+1-\lambda),$$即$$\ n\geqslant \dfrac{\lambda(1-\lambda)}{1-2\lambda},\lambda<\dfrac 12,$$此时有$$\begin{split} &\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}\\>&\dfrac{1}{n-\lambda}-\dfrac{1}{2n+1-\lambda}\\=&\dfrac{n+1}{(n-\lambda)(2n+1-\lambda)}, \end{split} $$我们希望$$\dfrac{n+1}{(n-\lambda)(2n+1-\lambda)}\geqslant \dfrac{1}{2(n-1)},$$即$$n\geqslant \dfrac{2-\lambda(1-\lambda)}{3\lambda -1},\lambda >\dfrac 13,$$当$n\geqslant 5$时，对$\lambda$的要求是$$\begin{cases} \lambda^2-11\lambda +5\geqslant 0,\\ \lambda^2-16\lambda +7\leqslant 0,\end{cases}$$即$$8-\sqrt{57}\leqslant \lambda \leqslant \dfrac{11-\sqrt{101}}{2},$$因此取$\lambda=\dfrac{5}{11}$即可．
事实上，$n\geqslant 5$是该方法最好的起点，如图是函数$y=\dfrac {x(1-x)}{1-2x}$与$y=\dfrac {2-x(1-x)}{3x-1}$的图象：
注 在裂项放缩中，通过引入参数对裂项放缩进行了控制．