初高衔接[1]乘法公式与因式分解

初中时，我们熟悉完全平方公式

$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,$$ 与平方差公式 $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$ 如果将完全平方公式左边的指数变成$3$，就有了完全立方公式： $$\begin{split} (a+b)^3=a^3+ 3a^2b+3ab^2+b^3,\\(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\end{split}$$ 完全立方公式的右边是三次齐次式，按$a$的降幂排列，在第一个公式中，用$-b$代替$b$就得到第二个公式，所以$b$为奇次方项的系数为负．

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例题一　运用乘法公式计算与化简：
(1)$(x+1)^3-x(x^2+3x+3)$；
(2)$(x+y)^3+(x-y)^3$；
(3)$\left(x+\dfrac 1x\right )^3-\left(x-\dfrac 1x\right )^3$．

分析与解　本题目的是熟悉完全立方公式．
答案　(1)$1$；
(2)$2x^3+6xy^2$；
(3)$6x+\dfrac 2{x^3}$．

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在完全立方公式中，我们将$a^3\pm b^3$单独放在一边整理后就得到了立方和公式

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,$$ 和立方差公式 $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$$ 所有这些乘法公式从右边到左边就可以用于因式分解．

例题二　化简与计算：
(1)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$；
(2)$(m^2-4)(m^4+4m^2+16)$；
(3)已知$a+b=1,ab=1$，求$a^3+b^3$的值．

分析　(1)(2)可以直接展开并整理，也可以注意到它们就是立方和公式与立方差公式的形式，从而直接写出结果．(3)中要将$a^3+b^3$用$a+b,ab$表示出来：

$$\begin{split} a^3+b^3=&(a+b)(a^2-ab+b^2)\\=&(a+b)[(a+b)^2-3ab].\end{split}$$ 所以$a^3+b^3=-2$．

答案　(1)$27+8y^3$；
(2)$m^6-64$；
(3)$-2$．

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例题三　分解因式：
(1)$x^6+64y^6$；
(2)$x^6-64y^6$；
(3)$8x^3+27y^3+36x^2y+54xy^2$；
(4)$64x^6-48x^4+12x^2-1$．

分析与解　我们有立方和公式与立方差公式，但只有平方差公式，没有平方和公式．对于(1)只有一种分解方式，但对于(2)，先用平方差公式还是先用立方差公式都可以．以(2)为例：

(2)法一（先用平方差公式）

$$\begin{split}&x^6-64y^6\\=&(x^3+8y^3)(x^3-8y^3)\\=&(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2).\end{split}$$ 法二（先用立方差公式） $$\begin{split}&x^6-64y^6\\=&(x^2)^3-(4y^2)^3\\=&(x^2-4y^2)(x^4+4x^2y^2+16y^4)\\=&(x-2y)(x+2y)[(x^2+4y^2)^2-4x^2y^2]\\=&(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2-2xy)(x^2+4y^2+2xy).\end{split}$$ 观察(3)(4)，它们是完全立方公式的右边，完全立方公式从右向左就是因式分解的过程．但在实际因式分解过程中，有时没有观察出来，也可以先分组分解，再提取公因式．以(3)为例：

(3)法一（分组分解）

$$\begin{split} &8x^3+27y^3+36x^2y+54xy^2\\=&(8x^3+27y^3)+(36x^2y+54xy^2)\\=&(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)+18xy(2x+3y)\\=&(2x+3y)(4x^2+12xy+9y^2)\\=&(2x+3y)^3.\end{split}$$

法二（直接整理观察）

$$\begin{split} &8x^3+27y^3+36x^2y+54xy^2\\=&(2x)^3+(3y)^3+3\cdot (2x)^2\cdot (3y)+3\cdot (2x)\cdot (3y)^2\\=&(2x+3y)^3.\end{split}$$

答案　(1)$(x^2+4y^2)(x^4-4x^2y^2+16y^4)$；
(2)$(x-2y)(x+2y)(x^2+2xy+4y^2)(x^2-2xy+4y^2)$；
(3)$(2x+3y)^3$；
(4)$(2x+1)^3(2x-1)^3$．

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最后给出两组练习：

练习一　利用乘法公式计算：
(1)$(x-2)(x+2)(x^4+4x^2+16)$；
(2)$(3x+4y)(9x^2-12xy+16y^2)$；
(3)$(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^6+x^3y^3+y^6)$；
(4)$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$；
(5)$(x+2)(x^2-2x+4)+(1-x)(1+x+x^2)$．

答案　(1)$x^6-64$；
(2)$27x^3+64y^3$；
(3)$x^9-y^9$；
(4)$x^6-1$；
(5)$9$．

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练习二　分解因式：
(1)$8x^3+27$；
(2)$1+\dfrac 18x^3y^3$；
(3)$(x+y)^6-(x-y)^6$．

答案　(1)$(2x+3)(4x^2-6x+9)$；
(2)$\dfrac 18(xy+2)(x^2y^2-2xy+4)$；
(3)$4xy(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)$．