2016年上海卷理科数学第17题（选择倒数第二题）

已知无穷等比数列$\left\{a_n\right\}$的公比为$q$，前$n$项和为$S_n$，且$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$．下列条件中，使得$2S_n<S \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$恒成立的是（        ）

A.$a_1>0,0.6<q<0.7$

B.$a_1<0,-0.7<q<-0.6$

C.$a_1>0,0.7<q<0.8$

D.$a_1<0,-0.8<q<-0.7$

解  B．

由题意，$-1<q<1 \land q\ne 0,\ S=\dfrac{a_1}{1-q}$，若$2S_n<S \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$恒成立，则 $$2a_1 \left(1-q^n\right)<a_1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$$ 恒成立，其中$a_1\ne 0$．

(1)若$a_1>0$，则 $$2\left(1-q^n\right)<1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$$ 恒成立，在上式两边同时令$n\to \infty$，由数列极限的保序性，我们有$2 \leqslant 1$，矛盾．

(2)若$a_1<0$，则 $$2\left(1-q^n\right)>1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$$ 恒成立，即 $$q^n<\dfrac{1}{2} \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$$ 恒成立，而这又等价于 $$q<\dfrac 12\land q^2<\dfrac{1}{2}.$$

综合(1)(2)可知，$a_1<0$，且$-\dfrac{\sqrt{2} }{2}<q<\dfrac 12$($q\neq 0$)，所以选B．