每日一题[538]逐步消元

已知三个角$A,B,C$的和为$2\pi$，求$\sin A+\sin B+\sin C$的最大值．

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解    法一　根据题意，有

$$\begin{split} \sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B-\sin (A+B)\\ &=2\sin\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2-2\sin\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A+B}2\\ &\leqslant |2\sin x|+2|\sin x|\cdot|\cos x|,\end{split}$$ 记$x=\dfrac {A+B}{2}$，当 $$\left|\cos\dfrac{A-B}{2}\right |=1,\sin(A+B)\leqslant 0$$ 时取得等号，于是问题转化为求$2|\sin x|(1+|\cos x|)$的最大值．

事实上，有

$$\begin{split} 2|\sin x|\cdot (1+|\cos x|)&=2\cdot \sqrt{(1-|\cos x|^2)(1+|\cos x|)^2}\\&=2\cdot \sqrt{\dfrac{(1+|\cos x|)^3(3-3|\cos x|)}{3}}\\& \leqslant 2\cdot \sqrt{\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 64\right)^4}\\&=\dfrac{3\sqrt 3}2,\end{split}$$ 当$|\cos x|=\dfrac 12$时取得等号．

因此$\sin A+\sin B+\sin C$的最大值为$\dfrac{3\sqrt 3}2$，取得最值的条件是

$$A=\dfrac {2\pi}{3}+2m\pi,B=\dfrac{2\pi}3+2n\pi,m,n\in\mathcal Z.$$

法二　根据题意，有

$$\begin{split} \sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B-\sin (A+B)\\ &=\sin A\cdot(1-\cos B)+\cos A\cdot (-\sin B)+\sin B\\ &\leqslant \sqrt{\sin^2A+\cos^2 A}\cdot\sqrt{(1-\cos B)^2+\sin^2B}+\sin B\\&=\sqrt{2-2\cos B}+\sin B\\&\leqslant 2\left|\sin{\dfrac B2}\right |+2\left|\sin\dfrac B2\cos\dfrac B2\right |\\&=2\sqrt{\left(1-\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )^3}\\&=\dfrac{2}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{\left(3-3\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )\left(1+\left|\cos{\dfrac B2}\right |\right )}\\&\leqslant \dfrac {2}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{\left(\dfrac 64\right )^4}\\&=\dfrac{3\sqrt 3}{2}.\end{split}$$ 等号成立需要 $$\begin{cases} &\sin A(-\sin B)=\cos A(1-\cos B),\\&\sin B\geqslant 0,\cos A<0,\\&3-3\left|\cos\dfrac B2\right |=1+\left|\cos\dfrac B2\right |,\end{cases}$$ 解得 $$A=\dfrac {2\pi}{3}+2k\pi,B=\dfrac {2\pi}{3}+2k'\pi,k,k'\in\mathcal{Z}$$ 时有最大值．

当然，消去两元后得到的一元函数，换元后求导也可以求出最值．