每日一题[521]含参均值不等式

设$a,b,c$是不全为$0$的实数，求$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$的最大值和最小值．

---

分析    我们知道均值不等式

$$ab\leqslant \dfrac{a^2+b^2}2$$ 可以用来将$ab$转化为$a^2+b^2$．因此可以抓住这一点，利用参数对其进行改造，使得$a^2$与$b^2$的系数变得可以调整，如 $$\lambda a\cdot b\leqslant \dfrac{\lambda^2a^2+b^2}2,$$ 也即 $$ab\leqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$ 其中$\lambda>0$，且等号当$\lambda a=b$时取得．此外，当$\lambda<0$时，亦有 $$ab\geqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$ 等号当$\lambda a=b$时取得．

解    利用含参的均值不等式可得

$$ab+bc+c^2\leqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$ 其中$\lambda,\mu>0$，且 $$ab+bc+c^2\geqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$ 其中$\lambda,\mu<0$．

解方程组

$$\begin{cases} \dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2=\lambda,\\ \dfrac{1}{2\mu}+1=\dfrac {3\lambda}2,\end{cases}$$ 可得$(\lambda,\mu)=(1,1),\left(-\dfrac{1+\sqrt{13}}6,\dfrac{\sqrt{13}-5}6\right),\left(\dfrac{\sqrt{13}-1}6,-\dfrac{\sqrt{13}+5}6\right)$．舍去最后一组$\lambda,\mu$异号的解，可得 $$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}(a^2+2b^2+3c^2)\leqslant ab+bc+c^2\leqslant \dfrac 12(a^2+2b^2+3c^2),$$ 左边等号当 $$a:b:c=18:-3-3\sqrt{13}:2\sqrt{13}-4$$ 时取得，右边等号当 $$a:b:c=1:1:1$$ 时取得．

综上，$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$的最大值是$\dfrac 12$，最小值是$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$．