对数-平均值不等式（A-L-G不等式）

前面我们给出了$\ln x$的一个不太精细的界

$$\ln x\leqslant x-1,$$ 并且在$(0,1)$上，有$\ln x>1-\dfrac 1x$．$\ln x$还有一个更精细的界： $$\forall 0<x<1, \dfrac{x-1}{\sqrt x}<\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1},$$ 与 $$\forall x>1, \dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac{x-1}{\sqrt x}.$$ 图象如下：

证明　记$f(x)=\ln x$，$g(x)=\sqrt x-\dfrac 1{\sqrt x}$，$h(x)=2\cdot\dfrac {x-1}{x+1}$，则有

$$f(1)=g(1)=h(1)=0,$$ 对三个函数分别求导得 $$\begin{split} f'(x)=&\dfrac 1x,\\g'(x)=&\dfrac {x+1}{2x\sqrt x},\\h'(x)=&\dfrac {4}{(x+1)^2},\end{split}$$ 于是有 $$\begin{split} (f(x)-g(x))'=&-\dfrac {(\sqrt x-1)^2}{2x\sqrt x}\leqslant 0,\\(f(x)-h(x))'=&\dfrac {(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geqslant 0.\end{split}$$ 所以$f(x)-g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，$f(x)-h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增．

又因为

$$f(1)-g(1)=f(1)-h(1)=0,$$ 所以有 $$\begin{split} x\in(0,1),g(x)<f(x)<h(x);\\x\in(1,+\infty),h(x)<f(x)<g(x).\end{split}$$ 证明完毕．

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由$\ln x$的精细的界我们可以估计出一些特殊数的自然对数的值，比如令$x=2$得

$$\dfrac 23<\ln 2<\dfrac {\sqrt 2}{2}.$$ 利用上面的不等式容易证明（令$x=\dfrac ab$即可）A-L-G不等式（对数—平均值不等式） $$\forall a,b>0\land a\neq b,\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}2.$$  A-L-G不等式描述了我们在解导数中的不等式问题中常见的$\ln\dfrac{x_1}{x_2}$的上下界，因此是处理该类问题的利器：

例题　已知函数$f(x)={\rm e}^x-ax$有两个零点$x_1<x_2$，则下列说法错误的是（        ）

A．$a>{\rm e}$

B．$x_1+x_2>2$

C．$x_1x_2>1$

D．有极小值点$x_0$，且$x_1+x_2<2x_0$

分析与解    函数$f(x)$的导函数为

$$f'(x)={\rm e}^x-a,$$ 于是有极小值点$x=\ln a$，而极小值为$a\left(1-\ln a\right)$．于是根据题意，极小值应小于$0$，从而$a>{\rm e}$，选项 A 正确．下面分析选项 B、C、D．

根据题意有

$$\begin{eqnarray}\begin{split}x_1=\ln a+\ln x_1,\\x_2=\ln a+\ln x_2,\end{split}\end{eqnarray}$$ 两式相减，得 $$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1,$$ 于是 $$\sqrt{x_1x_2}<1<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 即 $$x_1x_2<1\land x_1+x_2>2,$$ 选项 B 正确，而选项 C 错误．

选项 D：根据题意$x_0=\ln a$，而根据(1)，有

$$x_1+x_2=2\ln a+\ln\left(x_1x_2\right),$$ 结合对选项 C 的分析，可知选项 D 正确． 综上，符合题意的选项为 C．

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最后给出一道练习：

已知函数$f(x)=\ln x-x$，$f(x)=m$有两个根$x_1,x_2$，证明：$x_1x_2<1$，$x_1+x_2>2$．

证明　由题意知$\ln x_1-x_1=\ln x_2-x_2$，于是有

$$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac {x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1<\dfrac {x_1+x_2}{2}.$$ 命题得证．

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更多相关问题见每日一题[78] 对数函数的齐次化构造 ，每日一题[83] 有关$x_1+x_2$导函数不等式的对称化构造，对数函数不等式的化齐次方法等等（点击阅读原文后链接可以直接打开）．