恒成立问题中的端点分析

恒成立是一个很强的条件，意味着题中不等式对于某范围内所有的自变量的值都成立，所以自变量取边界值和某些特殊值时，不等式都成立，由此可以得到一些关于参数的不等式，缩小参数的范围，有效地减少讨论．

本文从端点情况出发，去揭示通过一些必要条件缩小参数范围、确定讨论的分界点这种方法的威力．为了简便，本文选择的例题中，缩小后的参数范围就恰好是所求的范围，虽然这看上去很巧，但事实上，在大部分这类问题中，我们遇到的情况都是如此．

例题一　已知$ax^2-4\ln (x-1)<1$对$x\in [2,\mathrm e+1]$恒成立，求$a$的取值范围．

分析与解　将不等式左边记为 $$f(x)=ax^2-4\ln (x-1),$$ 则题目条件等价于 $$\forall x\in[2,\mathrm e+1],f(x)<1.$$ 对$f(x)$求导得 $$f'(x)=\dfrac {2(ax^2-ax-2)}{x-1}.$$ 直接对$a$进行讨论情况太多，考虑边界条件即 $$f(2)<1\land f(\mathrm e+1)<1,$$ 解得$a<\dfrac 14$．

下面尝试证明$a<\dfrac 14$就是所求的范围．

因为 $$f(x)<\dfrac 14x^2-4\ln(x-1),$$ 故只需要证明 $$\forall x\in[2,\mathrm e+1],\dfrac 14x^2-4\ln (x-1)<1.$$ 记 $$g(x)=\dfrac 14x^2-4\ln (x-1),x\in [2,\mathrm e+1],$$ 则$g'(x)=\dfrac {x^2-x-8}{2(x-1)}$，易知它有一个零点$m\in(2,\mathrm e+1)$，于是$g(x)$在$(2,m)$上单调递减，在$(m,\mathrm e+1)$上单调递增，于是 $$\max\{g(x)\}=\max\{g(2),g(\mathrm e+2)\}<1.$$ 故$a<\dfrac 14$即为所求．

例题二　已知不等式$2x\ln x<(1-k)(x^2-1)$对任意$x>1$恒成立，求$k$的取值范围．

分析与解　为了让函数更简单，我们对题中条件进行处理，条件等价于 $$\forall x>1,2\ln x-(1-k)\left(x-\dfrac 1x\right )<0,$$ 记 $$f(x)=2\ln x-(1-k)\left(x-\dfrac 1x\right ),$$ 则$\forall x>1,f(x)<0$．对$f(x)$求导得 $$f'(x)=\dfrac {1}{x^2}\big((k-1)x^2+2x+(k-1)\big),$$

分析端点，考虑到$f(1)=0$，于是$f(x)$在$x=1$附近单调不增，从而有 $$f'(1)=2k\leqslant 0,$$ 于是得到必要条件$k\leqslant 0$．

（否则，$f'(1)>0$，就能得到$f(x)$在$x=1$右侧的小邻域内单调递增，从而在这个小邻域内$f(x)>f(1)=0$，与条件不符）

接下来证明充分性：

当$k\leqslant 0$时，有 $$f(x)\leqslant 2\ln x-\left(x-\dfrac 1x\right ),$$ 而 $$\left(2\ln x-\left(x-\dfrac 1x\right )\right )'=-\dfrac {(x-1)^2}{x^2}\leqslant 0,$$ 于是有 $$\forall x>1,2\ln x-\left(x-\dfrac 1x\right)<\left.\left(2\ln x-\left(x-\dfrac 1x\right )\right)\right |_{x=1}=0,$$ 从而有题中不等式恒成立．

必要性给我们提供了参数的一个非常好的分界点，便于我们讨论．最后我们对必要性提供另外一个角度的严格证明：

由$2x\ln x>0$知$k<1$．如果$k>0$，记 $$g(x)=(k-1)x^2+2x+(k-1),$$ 与$f'(x)$正负相同，考虑$g(x)$的零点，由 $$k-1<0,g(1)=2k>0$$ 知$g(x)$有两个零点$x_1,x_2$，且满足$x_1<1<x_2$，于是在$(1,x_2)$上$g(x)>0$，$f'(x)>0$，从而有$f(x)$在$(1,x_2)$上单调递增，所以 $$x\in(1,x_2),f(x)>f(1)=0,$$ 与题意矛盾．

综上知$k$的取值范围为$k\leqslant 0$．

最后给出一道练习：

练习　已知函数$f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$，设实数$k$使得$f(x)>k\left(x+\dfrac {x^3}{3}\right )$对$x\in(0,1)$恒成立，求$k$的最大值．

答案　$2$．

注　对有些问题来说，端点处的情况可能比较复杂，比如端点处函数无定义或是端点在无穷远处，此时只能通过极限去分析，有兴趣的读者可以参考每日一题[281]零点分段讨论与分析端点．另外，对于上一期的参数不分离的例题，也可以尝试利用端点处的情况去缩小讨论范围或确定讨论分界点，简化讨论，读者可以尝试一下．