每日一题[476]取等条件

已知$x,y,z>0$,且$\sqrt{\dfrac{1-x}{yz}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{zx}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{xy}}=2$,求$xyz$的最大值.


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分析    等式两边同时乘以$\sqrt{xyz}$,那么代数式的元就集中了,可以考虑用均值不等式去掉根号.猜想$x=y=z$时取得最大值,此时有$x=y=z=\dfrac 34$,利用均值不等式的时候需要调整一下.

   根据已知,有$$2\sqrt{xyz}=\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)},$$即$$\dfrac{2}{\sqrt 3}\sqrt{xyz}=\sqrt{\dfrac x3\cdot (1-x)}+\sqrt{\dfrac y3\cdot (1-y)}+\sqrt{\dfrac z3\cdot (1-z)}.$$应用均值不等式,有$$RHS\leqslant \dfrac{3-\dfrac 23(x+y+z)}2\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$这样就得到了关于$xyz$的不等式$$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$即$$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}+(xyz)^{\frac 13}\leqslant \dfrac 32,$$注意到左侧关于$xyz$单调递增,因此有$$xyz\leqslant \dfrac{27}{64},$$等号当且仅当$x=y=z=\dfrac 34$时取得.

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