练习题集[52]基础练习

1、已知$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，且$f(1)=f(2)=1$，$f(3)=f(4)=2$，则$f(5)=$_______．

2、设$a_n$是数列$\left\{\dfrac 1n\right\}$的前$n$项和，求证：$a_n^2>2\left(a_1+\dfrac{a_2}2+\dfrac{a_3}3+\cdots +\dfrac{a_n}n\right)-\dfrac 74$．

3、已知体积为$2$的三棱锥$P-ABC$的底面是顶角为$A=120^\circ$的等腰三角形，底边$BC=2\sqrt 3$，且$PB\perp AB$，$PC\perp AC$，则三棱锥$P-ABC$外接球的半径为_______．

4、已知$\triangle ABC$的三个角$A,B,C$成公比为$2$的等比数列，$a,b,c$分别是$A,B,C$所对的边，求证：$b-a,a,c-a$为等比数列．

5、$(1+x+x^2+\cdots +x^{100})^3$的展开式中包含$x^{150}$的项的系数为_______．

6、已知$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}\in [-2,2]$，$a_1+a_2+\cdots +a_{2016}=0$，则$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_{2016}^3$的最大值为_______．

7、已知$a,x$均为正数，求证：$a\left[x{\rm e}^x-\ln\left(\dfrac 4ax+1\right)\right]-2\left(\ln x-x+1\right)>2\left(\ln a-\ln 2\right)$．

参考答案

1、$-1$

提示    设$f(x)=(x-1)(x-2)\cdot g(x)+1$，则$g(x)$为一次多项式，进而$g(3),g(4),g(5)$成等差数列．

2、展开即得．

3、$\sqrt 7$

提示    $PA$的中点即外接球的球心．

4、只需要证明$\dfrac 1a=\dfrac 1b+\dfrac 1c$，易知$A=\dfrac{\pi}7$，$B=\dfrac{2\pi}7$，$C=\dfrac{4\pi}7$，应用正弦定理变形即得．

5、$7651$

提示    ${\rm C}_{152}^2-3{\rm C}_{51}^2=7651$．

6、$4032$

提示    取$f(x)=x^3$过点$(2,8)$的切线$y=3x+2$，则 $$x^3\leqslant 3x+2,$$ 等号当且仅当$x=-1$或$x=2$时取得，因此 $$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_{2016}^3\leqslant 3(a_1+a_2+\cdots +a_{2016})+4032=4032,$$ 等号当$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$中有$672$个数取$2$，其余的数取$-1$时取得．

7、记$\dfrac 2a=k$，则只需要证明 $$x{\rm e}^x-\ln (2kx+1)+k(x-1-\ln x)+k\ln k>0,$$ 将左边放缩为 $$x{\rm e}^x-2kx+k(x-1-\ln x)+k\ln k,$$ 然后利用导数求出上式最小值为$0$即得．