每日一题[495]对数值的估算

若函数$f(x)=x^2+\dfrac 2x-a\ln x$($a>0$)存在唯一零点$x_0$，且$m<x_0<n$，其中$m,n$为相邻的整数，则$m+n=$_______．

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分析    根据题意，方程

$$x^2+\dfrac 2x-a\ln x=0$$ 有唯一解，也即函数$g(x)=\dfrac{x^2+\dfrac 2x}{\ln x}$的图象与直线$y=a$相切于$(x_0,a)$．考虑到$a>0$，因此只需要估计函数$g(x)$的导函数在$x>1$时的零点位置即可．

解    函数$g(x)$的导函数

$$g'(x)=\dfrac{(2x^3-2)\ln x-(x^3+2)}{x^2\ln^2x},$$ 设分子为$\varphi(x)$，则 $$\varphi(2)=14\ln 2-10<7\sqrt 2-10<0,$$ 而 $$\varphi(3)=52\ln 3-29>0.$$ 其中用到了 $$\ln 2<\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 2},$$ 这是因为对$\ln x$的常用估计： $$\forall x>1,2\cdot\dfrac{x-1}{x+1}<\ln x<\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}.$$ 这样就得到了 $$2<x_0<3,$$ 从而$m+n$的值为$5$．